欧拉243年前提出的 "不可能 "问题，终被量子解决方案推翻
大名鼎鼎的瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）一直是数学领域关键性人物，他提出的著名的“36 名军官之谜”在过去243年，一直无解。
如今，一个令人惊讶的新解决方案提供了一种编码量子信息的新方法，有效的“解决了”该问题。
1. “不可能”六人军团问题
早在1779年，欧拉提出了一个很有名的不可解难题：六个军团各有六个不同军衔的军官，这36名军官能否被安排在一个6乘6的方阵中，使任何一行或一列的军官的军衔或所在军团都不重复？
当问题变成有5个军衔和5个军团，或7个军衔和7个军团时，这个谜题就很容易解决了。
但6个军衔和6个军团36名军官的情况却无法寻求到合适的解决方案。在绞尽脑汁找解决方案未果后，欧拉得出结论："这样的安排是不可能的，尽管我们无法对此给出严格的证明"。
一个多世纪后，法国数学家 Gaston Tarry证明，确实没有办法将欧拉提出的36名军官安排在一个6乘6的正方形中而不重复。
2. 计算机辅助，仍然无解
1960年，数学家们用计算机来证明[1]，任何数量的军团和军衔都存在相应的解决方案，但奇怪的是，说巧不巧唯独6个军团的情况除外。
两千多年来，类似的谜题一直让人们着迷。
世界各地的文化都制作了 "魔法方块(Magic squares)"，即构建每一行和每一列的数字相加之和相同的方块，以及每一行和每一列都出现一次的充满符号的 "拉丁方块"。
以这一灵感设计的文化广场已被用于艺术和城市规划，但也只是为了有趣和引人思考。
一个较为流行的拉丁方格（数独）的子方格也缺乏重复的符号。欧拉的36个军官谜题要求一个 "正交拉丁方块"，其中两组属性，如军衔和军团，都同时满足拉丁方块的规则。
3. 量子版本挑战“不可能”
尽管200多年前的欧拉认为不存在这种6乘6的正方形。如今，游戏规则发生了变化。
在近期发布并提交给《物理评论快报》的一篇论文中[2]，印度和波兰合作的量子物理学家证明，有可能以符合欧拉标准的方式安排36名军官。
只要这些军官可以具备军衔和军团的量子混合状态。这项成果是开发魔方和拉丁方块谜题的量子版本的最新工作，这不仅仅是乐趣和游戏，而且在量子通信和量子计算方面有应用。
没有参与工作的同行，都为此发出了赞叹，认为他们的论文非常漂亮，因斯布鲁克大学的量子物理学家Gemma De las Cuevas就是其中高度赞叹的一员。
4. 量子谜题的“迷”
量子谜题（quantum puzzling）的新时代始于2016年，当时剑桥大学的Jamie Vicary 和他当时的学生Ben Musto有一个想法，即拉丁文方块中出现的条目可以被量子化。
在量子力学中，像电子这样的客体可以处于多种可能状态的 "叠加（Superposition）"（如需了解更多关于“量子叠加”概念，请参考量子客：《精，一文读懂量子计算》）
量子客体在被测量之前一直处于这种边缘的叠加状态上，这时它们会稳定在某一状态上。
这里的关键是，量子拉丁方块的条目也是可以处于叠加状态的量子态。
在数学上，一个量子状态由一个矢量（向量）表示，它有一个长度和方向，就像一个箭头，叠加则是由多个矢量组合而成的箭头。
类似于拉丁方块每一行和每一列的符号不能重复的要求，量子拉丁方块每一行或每一列的量子态必须对应于相互正交（即是两两垂直，线性独立）的矢量。
量子拉丁方块很快被对其不寻常特性感兴趣的理论物理学家和数学家群体所采用。
5. 量子版数独SudoQ
去年，法国数学物理学家Ion Nechita和Jordi Pillet创造了一个量子版的数独--SudoQ[3]。
在SudoQ中，没有使用0到9的整数，而是行、列和子方块各有九个垂直向量。
这些进展导致波兰雅盖隆大学的博士后研究员Adam Burchardt和他的同事们重新审视欧拉关于36名官员的百年难题。
他们想知道，如果欧拉的军官被制成量子化，结果会怎样？
在这个问题的经典版本中，每个条目都是一个具有明确的军衔和军团的军官。
把这36个官员想象成彩色的棋子是很有帮助的，其等级可以是国王、皇后、车、象、马或卒，其军团由红色、橙色、黄色、绿色、蓝色或紫色代表。
但在量子版本中，官员是由等级和军团的叠加态形成的。例如，一个官员可能是一个红色国王和一个橙色皇后的叠加（此处没有量子力学背景的读者可以尝试直观理解灯的开关，100%“开”表示国王，0%的“开”即“关”表示皇后，过去只有一开关，现在有了旋钮可以调节亮度的开关存在了，当我们把开关调制50%亮度时候，此时国王与皇后就处于叠加状态）。
但这里还会提及一个关键是，组成这些军官的量子态有一种特殊的关系，叫做纠缠（Entanglement），它涉及不同微观客体之间的关联。
图3｜量子纠缠示意图 （来源：Brilliant）
例如，如果一个红色的国王与一个橙色的皇后纠缠在一起，那么即使国王和皇后都处于多个团的叠加状态，观察到国王是红色的，就会立即告诉你皇后是橙色的。正是由于纠缠的特殊性质，沿着每条线的官员都可以是垂直的。
这个理论似乎是可行的，但为了证明它，作者不得不构建一个6乘6的阵列，里面装满了“量子官”。
大量可能的配置和纠缠意味着他们必须依靠计算机的帮助。研究人员插入了一个经典的近似解决方案（36个经典军官的排列，在一行或一列中只有几个重复的军衔和军团），并应用一种算法，将该排列向真正的量子解决方案调整。
该算法的工作原理有点像用暴力破解魔方问题，你先解决第一行，然后是第一列，再是第二列，以此类推。当他们一遍又一遍地重复这个算法时，谜题阵列循环往复，越来越接近于真正的解决方案。
最终，研究人员可以看到这个模式，并通过手工填入剩余的几个条目。
6. 欧拉错了！却有意外发现
在某种意义上，欧拉被证明是错误的，尽管他在18世纪不可能知道“量子官员”的可能性。
据共同作者、位于钦奈的印度马德拉斯理工学院的物理学家Suhail Rather说，他们的解决方案的一个令人惊讶的特点是军官等级只与相邻等级（国王与皇后、车与象、马与卒）纠缠在一起，团与相邻团纠缠在一起。
另一个惊喜是出现在量子拉丁方块的条目中的系数。这些系数是一些数字，基本上告诉你在叠加中给予不同项多少权重。
奇怪的是，算法得出的系数比例是Φ，即1.618......，这就是著名的黄金比例。
7. 黄金比例AME
这个解决方案也是所谓的绝对最大纠缠态（Absolutely Maximally Entangled，AME），这种量子物体的排列被认为对一些应用非常重要，包括量子纠错（Quantum error-correction），在量子计算机中冗余存储信息的方法，这样即使有数据损坏也能正常工作。
在AME中，量子对象的测量之间的关联性强到了极点。如果A和B拥有纠缠在一起的硬币，A抛出她的硬币并得到正面，她肯定知道B得到了反面，反之亦然。
两个硬币可以最大限度地纠缠在一起，三个也可以，但是四个不行。如果C和D加入抛硬币的行列，A永远无法确定B得到的是什么。
然而，新的研究证明，如果你有一组四个纠缠的骰子，而不是硬币，这些骰子可以最大限度地纠缠在一起。六面骰子的排列相当于6乘6的量子拉丁方块。
由于黄金比例在他们的解决方案中的存在，研究人员将其称为 "黄金AME"。
"我认为它是高度不平凡（highly nontrivial）的，De las Cuevas说。"不仅是它的存在，而且他们明确地提供了状态并对其进行了分析。"
研究人员此前已经通过从经典纠错码开始，找到类似的量子版本，设计了其他AME。但新发现的黄金AME是不同的，它没有经典的加密类似物。Burchardt怀疑它可能是一类新的量子纠错码中的第一个。
话又说回来，如果黄金AME仍然是独一无二的，那也可能同样有趣。
8. 同类问题研究探路
对于专业读者，上文涉及的问题也可以从量子伪心灵感应（Quantum pseudo-telepathy）游戏对弈中获得相应的启发[4]。
QPT是在某些具有不对称信息的贝叶斯博弈中，能够接触到处于纠缠量子状态的共享物理系统，并且能够执行以对纠缠的物理系统进行测量为条件的策略的玩家，能够在均衡中获得比没有接触到纠缠的量子系统的玩家在同一博弈的任何混合策略的纳什均衡中所能获得的更高的预期。
David Mermin在他的《Mermin–Peres magic square》工作中做了很好的解释，利用了量子纠缠资源，解决了经典世界里无法100%解决的问题。
笔者曾经研究过该问题，该游戏可以用优美且简单的方式理解量子力学特性，对于理解非局域性问题以及互文性问题有着深刻简洁的描述。
在中国，该问题研究成果比较多的是中国科学技术大学陈凯教授[5]团队，在构造新型Bell不等式，量子力学的非定域性检验，经典与量子多体问题方面做了工作。
图5 ｜陈凯教授 （来源：USTC）
使用量子叠加与纠缠作为资源，一直是量子计算和量子通信科学家们努力的方向。
过去难以解决甚至无解的问题，在采用了量子解决方案之后，带来了全新的思路。这对开发量子启发（Quantum inspire）的量子计算应用至关重要，也是全球的量子准备（Quantum Ready）的参与者共通的方向。
[1]《Further Results on the Construction of Mutually Orthogonal Latin Squares and the Falsity of Euler's Conjecture》 https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-journal-of-mathematics/article/further-results-on-the-construction-of-mutually-orthogonal-latin-squares-and-the-falsity-of-eulers-conjecture/1152262BF046F8632638FE9C10610136
[2]https://arxiv.org/abs/2104.05122
[3]https://arxiv.org/abs/2005.10862
[4]http://electron6.phys.utk.edu/phys250/modules/module%203/a_pseudotelepathy_game.htm
[5]https://quantum.ustc.edu.cn/web/node/90